Bienvenidos al blog de los primos de Goldbach

Con este Blog se pretende que el aprendizaje de las matemáticas te resulte más divertido y te permita familiarizarte con el uso de las nuevas tecnologías.Toda sugerencia será bien recibida.

Iré colgando actividades para realizar individualmente o en grupo. Además también añadiré curiosidades e incluso algún video musical. Podréis colaborar en todo momento con vuestros comentarios. Espero que disfrutéis tanto cómo yo colaborando activamente en vuestro propio aprendizaje.

Calculando razones trigonométricas de ángulos mayores que 90º

En el siguiente enlace tenéis descrito:

1. Cuando 2 ángulos son COMPLEMENTARIOS.
2. Cuando 2 ángulos son SUPLEMENTARIOS.
3. Ángulos cuya diferencia es de 180º ( recordar que pi radianes = 180º ).
4. Ángulos opuestos.

Ejercicio: Este ejercicio trata de que seáis conscientes basta conocer el seno y el coseno de los ángulos del I-Cuadrante para obtener las Razones trigonométricas de cualquier otro ángulo entre 90º y 360º.

Debéis encontrar la relación entre el seno y el coseno de los ángulos A ( en todos los casos estará en el I-cuadrante)  y B, poniendo un par de ejemplos concreto en casa caso. En cada una de las imágenes que tenéis podéis variar el ángulo pulsando sobre las flechas rojas y azul que se encuentran en la parte inferior de la figura.


Por ejemplo, para el caso de ángulos complementarios:

sen A = cos B

cos A= sen B

tg A= 1/tg B

Ejemplos:  sen 30º = cos 60º    ,    cos 30º = sen 60º     , tg 30º = 1/ tg 60º

Resolviendo problemas de Programación Lineal

Veamos otro problema también propuesto en la PAU de Junio de 2011

Se va a organizar una planta en una empresa de electrodomésticos donde van a trabajar mecánicos y electricistas. Por necesidad del mercado es necesario que haya mayor o igual número de electricistas que de mecánicos y que el número de electricistas no supere al doble del de mecánicos. Se necesitan al menos 20 electricistas y no hay más de 30 mecánicos disponibles. 

a)  Plantear un problema lineal que nos permita averiguar cuántos trabajadores de cada clase se deben de contratar para maximizar el beneficio que obtiene la empresa por mes, sabiendo que por cada mecánico se obtienen 2000 € de beneficio mensual y por cada electricista 2500 €.
b)  Calcular cuántos mecánicos y cuántos electricistas se deben de contratar para obtener un beneficio máximo, si el beneficio mensual que se obtiene por cada trabajador es el expuesto en el apartado a). 

Vamos a resolverlo apoyándonos en las posibilidades de GeoGebra. En clase ya vimos detalladamente cómo usar esta potente herramienta para resolver algún tipo de problemas de programación lineal. Aquí os dejo el recinto resultante asociado a las restricciones. Lo único que deberéis hacer es calcular la solución mediante las llamadas rectas de nivel asociadas a la función objetivo. 

• Tras esto comprobad en vuestro cuaderno que los puntos del polígono se corresponden con las soluciones de los correspondientes sistemas de ecuaciones y
•  que el máximo beneficio se alcanza en el punto que habéis determinado con GeoGebra

Calculando medias muestrales

Una imágen preciosa de como se ve la luna en el polo sur...

Os propongo resolver el siguiente ejercicio propuesto por la Universidad de Zaragoza en la PAU de Junio de 2011:

La cantidad de horas que duermen los vecinos de un pueblo de Zaragoza se puede aproximar por una distribución normal con una desviación típica de 0,64. Se toma una muestra aleatoria simple y se obtienen los siguientes datos (en horas que duermen cada noche):

6,9    7,6    6,5    6,2    7,8    7,0    5,5    7,6    7,3    6,6    7,1    6,9    6,7    6,5    7,2    5,8

a)  Calcular la media muestral del número de horas que se duerme cada noche.
 

b) Determinar el nivel de confianza para el cual el intervalo de confianza para la media de horas que se duerme cada noche es (6,65 , 7). Detallar los pasos realizados para obtener los resultados. 

El apartado a) lo vamos a hacer usando EXCEL. Os dejo un enlace con la tabla de los datos anteriores. La función que se va a usar se llama PROMEDIO. Su Sintáxis es " =PROMEDIO( 1ª fila del rango de datos : última fila del rango ) ". También podéis probar a través del menú de funciones

Resolviendo sistemas de ecuaciones no lineales

Recordar que:

1. La función lineal se expresaba mediante un polinomio de grado 1 : f(x) = ax+b y cuya representación gráfica era una recta.


2. La función cuadrática se expresaba mediante un polinomio de grado 2 : f(x) = ax² + bx + c , cuya representación gráfica era una parábola.

El "estudio conjunto" de estos dos tipos de funciones da lugar a un ejemplo de sistema de ecuaciones no lineal.

Ejemplo: Resolver analítica y gráficamente el siguiente sistema no lineal:

Puedes ver la solución de este sistema pinchando aquí. Se ha usado WIRIS para la resolución del mismo. Debes pulsar sobre el icono de igualdad " = " para ver su solución analítica( resolver.... ) y gráfica ( dibujar ....).

Pulsa sobre la imagen para agrandarla

El uso de WIRIS es relativamente sencillo. Podéis acceder a él desde el siguiente enlace: http://www.wiris.net/educa.madrid.org/wiris/es/index.html . Para poder resolver sistemas de este tipo Podéis seguir los sifuientes pasos:

1. Pinchar sobre la pestaña " OPERACIONES" que se encuentra en la parte superior de la página.
2. Pinchamos en "RESOLVER SISTEMA" e introducimos el número de ecuaciones del sistema.
3. Introducimos ambos mienbros de las dos ecuaciones y pulsamos " = ". WIRIS nos da la solución analítica.

Ejercicio: Resolver el siguiente sistema no lineal en tu cuaderno y después comprueba su solución mediante WIRIS:

Teorema de Pitágoras

Aquí os dejo una animación que demuestra de forma muy intuitiva la igualdad que da lugar al conocido teorema de pitágoras:

a² + b² = c²

Debéis recordar que:

• a y b se les llama catetos
• c es la hipotenusa

Observar que la clave está en formar un cuadrado de lado "c"( hipotenusa) y área c² añadiendo 3 triángulos rectángulos iguales al de partida. 

¿Alguién sabe decir cuánto medirá de lado el cuadradito interior que se forma al pegar los 4 triángulos?